Question

分別求所有的實數(shù)k，使得關于x的方程kx²+（k+1）x+（k-1）=0
（1）有實根；
（2）都是整數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）分類討論：當k=0，方程變?yōu)椋簒-1=0，解得x=1；當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1，則-3k²+6k+1≥0，利用二次函數(shù)的圖象解此不等式得

3-2 3

3

≤k≤

3+2 3

3

；最后綜合得到當

3-2 3

3

≤k≤

3+2 3

3

時，方程有實數(shù)根；
（2）分類討論：當k=0，方程變?yōu)椋簒-1=0，解得方程有整數(shù)根為x=1；當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=-3（k-1）²+4，要使一元二次方程都是整數(shù)根，則△必須為完全平方數(shù)，得到k=1，2，-

1

7

，k=1±

2 3

3

；然后利用求根公式分別求解即可得到k=1、2、-

1

7

時方程的解都為整數(shù)．

解答：解：（1）當k=0，方程變?yōu)椋簒-1=0，解得x=1；
當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1，
當△≥0，即-3k²+6k+1≥0，方程有兩個實數(shù)根，解得

3-2 3

3

≤k≤

3+2 3

3

，
∴當

3-2 3

3

≤k≤

3+2 3

3

時，方程有實數(shù)根；
（2）當k=0，方程變?yōu)椋簒-1=0，解得方程有整數(shù)根為x=1；
當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=-3（k-1）²+4，
一元二次方程都是整數(shù)根，則△必須為完全平方數(shù)，
∴當△=4，則k=1；當△=1，則k=2；當△=

4

49

時，k=-

1

7

；當△=0，則k=1±

2 3

3

；
而x=

-(k+1)± △

2k

，
當k=1，解得x=0或-2；
當k=2，解得x=-

1

2

或-1；
當k=-

1

7

，解得x=2或4；
當k=1±

2 3

3

，解得x都不為整數(shù)，并且k為其它數(shù)△為完全平方數(shù)時，解得x都不為整數(shù)．
∴當k為0、1、-

1

7

時方程都是整數(shù)根．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了分類討論思想的運用以及一元二次方程都為整數(shù)根的必要條件就是判別式為完全平方數(shù)．