Question

如圖，平面直角坐標系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限．其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm

（1）若OB=6cm．

①求點C的坐標；

②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；

（2）點C與點O的距離的最大值. 

 

Answer 1

解答：

解：（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：

在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則BC=6，

∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，

又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，

∴BD=3，CD=3，

所以點C的坐標為（﹣3，9）； -------------------------------2分                    

②設點A向右滑動的距離為x，根據(jù)題意得點B向上滑動的距離也為x，如圖2：

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6．

∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12

在△A'O B'中，由勾股定理得，

（6﹣x）²+（6+x）²=12²，解得：x=6（﹣1），

∴滑動的距離為6（﹣1）；----------------------------------------4分

（2）設點C的坐標為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：

則OE=﹣x，OD=y，

∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，

∴△ACE∽△BCD，

∴，即，

∴y=﹣x，

OC²=x²+y²=x²+（﹣x）²=4x²，------------------------------6分

∴當|x|取最大值時，即C到y軸距離最大時，OC²有最大值，即OC取最大值，如圖，即當C'B'旋轉到與y軸垂直時

．此時OC=12，

故答案為：12