Question

18．在直角坐標系平面內，A（0，4），B（-3，0）兩點，過原點的直線交AB于點P，且把三角形AOB分成1：4的兩部分，求該直線的表達式．

Answer 1

分析 先根據待定系數法求得直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，然后根據A（0，4），B（-3，0）兩點計算出S_△OAB=6，設P點的縱坐標為t，由于△ABO被直線OP分成面積之比為1：4，則分類討論：當S_△POB=$\frac{1}{5}$S_△ABO=$\frac{6}{5}$時，$\frac{1}{2}$•3•t=$\frac{6}{5}$，解得t=$\frac{4}{5}$，利用y=$\frac{4}{3}$x+4得到P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$），然后利用待定系數法求出直線PO的解析式；當S_△POB=$\frac{4}{5}$S_△ABO=$\frac{24}{5}$時，則$\frac{1}{2}$•OB•t=$\frac{24}{5}$，解得t=$\frac{16}{5}$，利用y=$\frac{4}{3}$x+4得P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{16}{5}$），然后利用待定系數法求出直線PO的解析式．

解答 解：∵A（0，4），B（-3，0）兩點，
∴直線AB為y=$\frac{4}{3}$x+4，S_△OAB=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
設P點的縱坐標為t，
因為△ABO被直線OP分成面積之比為1：4，
當S_△POB=$\frac{1}{5}$S_△ABO=$\frac{6}{5}$時，
則$\frac{1}{2}$•OB•t=$\frac{6}{5}$，即$\frac{1}{2}$•3•t=$\frac{6}{5}$，解得t=$\frac{4}{5}$，
把y=$\frac{4}{5}$代入y=$\frac{4}{3}$x+4得$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{1}{5}$，解得x=-$\frac{12}{5}$，則P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$），
把P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$）代入y=kx得$\frac{4}{5}$=-$\frac{12}{5}$k，解得k=-$\frac{1}{3}$，
所以直線PO的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x；
當S_△POB=$\frac{4}{5}$S_△ABO=$\frac{24}{5}$時，
則$\frac{1}{2}$•OB•t=$\frac{24}{5}$，即$\frac{1}{2}$•3•t=$\frac{24}{5}$，解得t=$\frac{16}{5}$，
把y=$\frac{16}{5}$代入y=$\frac{4}{3}$x+4得$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{4}{5}$，解得x=-$\frac{3}{5}$，則P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{16}{5}$），
把P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{16}{5}$）代入y=kx得$\frac{16}{5}$=-$\frac{3}{5}$k，解得k=-$\frac{16}{3}$，
所以直線PC的解析式為y=-$\frac{16}{3}$x，
綜上所述，該直線的表達式為y=-$\frac{1}{3}$x或y=-$\frac{16}{3}$x．

點評 本題考查了兩條直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數相同，即k值相同．