Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是OB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．

（1）求證：△AOE≌△FBE；

（2）求證：四邊形BOCF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)E是OB的中點(diǎn)得OE=BE，根據(jù)BF∥AC得∠AOE=∠FBE，∠OAE=∠BFE，進(jìn)而根據(jù)“AAS”即可證得△AOE≌△FBE；

（2）由矩形ABCD可得AO=CO=BO，由△AOE≌△FBE可得AO=BF，進(jìn)而可得CO=BF，根據(jù)BF∥AC，CO=BF可得四邊形BOCF是平行四邊形，再結(jié)合CO=BO即可得證．

證明：（1）∵E是OB的中點(diǎn)，

∴OE=BE，

∵BF∥AC，

∴∠AOE=∠FBE，∠OAE=∠BFE，

在△AOE與△FBE中，

∴△AOE≌△FBE（AAS）；

（2）∵矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，

∴AO=CO=BO，

∵△AOE≌△FBE，

∴AO=BF，

∴CO=BF，

∵BF∥AC，CO=BF，

∴四邊形BOCF是平行四邊形，

又∵CO=BO，

∴四邊形BOCF是菱形．