Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將△COD繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1 ， 旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜90°），連接AC1、BD1 ， AC1與BD1交于點(diǎn)P．

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形．請直接寫出AC1 與BD1的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判斷AC1與BD1的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出證明；
（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC=6，BD=12，連接DD1 ， 設(shè)AC1=kBD1 ， 請直接寫出k的值和AC12+（kDD1）2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC1=BD1，AC1⊥BD1；

理由：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1，

∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，

∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，

在△AOC1和△BOD1中 ，

∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；

∴AC1=BD1，

∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，∴∠APB=90°，則AC1⊥BD1；

故AC1 與BD1的數(shù)量關(guān)系是：AC1=BD1；AC1 與BD1的位置關(guān)系是：AC1⊥BD1

（2）解：AC1= BD1，AC1⊥BD1．

理由：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OC=OA= AC，OD=OB= BD，AC⊥BD．

∵△C1OD1由△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到，

∴O C1=OC，O D1=OD，∠CO C1=∠DO D1．

∴O C1=OA，O D1=OB，∠AO C1=∠BO D1，

∴ = ．

∴ = ．

∴△AO C1∽△BOD1．

∴∠O AC1=∠OB D1．

又∵∠AOB=90°，

∴∠O AB+∠ABP+∠OB D1=90°．

∴∠O AB+∠ABP+∠O AC1=90°．

∴∠APB=90°．

∴AC1⊥BD1．

∵△AO C1∽△BOD1，

∴ = = = = = ．

即AC1= BD1，AC1⊥BD1

（3）解：如圖3，與（2）一樣可證明△AOC1∽△BOD1，

∴ = = = ，

∴k= ；

∵△COD繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1，

∴OD1=OD，

而OD=OB，

∴OD1=OB=OD，

∴△BDD1為直角三角形，

在Rt△BDD1中，

BD12+DD12=BD2=144，

∴（2AC1）2+DD12=144，

∴AC12+（kDD1）2=36．

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，各點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角相等可推出全等，再根據(jù)全等的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）類比（1）的思路方法，可得相似，由對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等可得結(jié)論；（3）類比（2），一樣可證明△AOC1∽△BOD1，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可推出△BDD1為直角三角形，再等量代換可得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．