Question

【題目】如圖1，E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點，D是邊BC所在直線上一點，且D與C不重合，若EC＝ED．則稱D為點C關于等邊三角形ABC的反稱點，點E稱為反稱中心．

在平面直角坐標系xOy中，

（1）已知等邊三角形AOC的頂點C的坐標為（2，0），點A在第一象限內，反稱中心E在直線AO上，反稱點D在直線OC上．

①如圖2，若E為邊AO的中點，在圖中作出點C關于等邊三角形AOC的反稱點D，并直接寫出點D的坐標：　 　；

②若AE＝2，求點C關于等邊三角形AOC的反稱點D的坐標；

（2）若等邊三角形ABC的頂點為B（n，0），C（n+1，0），反稱中心E在直線AB上，反稱點D在直線BC上，且2≤AE＜3．請直接寫出點C關于等邊三角形ABC的反稱點D的橫坐標t的取值范圍：　 　（用含n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】(1)①D（-1,0）; ②D(2,0);(2) 或

【解析】

（1）①根據題中反稱點與反稱中心的定義做出點D，可得坐標；

②易得AO=OC=2，由AE=2,分E點的兩個可能的位置（如圖3，圖4）討論，可得D點的值；

(2)由（1）可得反稱點與反稱中心的規(guī)律，當B(n,0)，C(n+1,0)，2≤AE<3可得或.

（1）① 如圖，

或

D(-1,0)

② ∵等邊三角形AOC的兩個頂點為O(0,0)，C(2,0),

∴OC=2.

∴AO=OC=2.

由AE=2可知，點E有兩個可能的位置（如圖3，圖4）.

圖3 圖4

(ⅰ) 如圖3，點E與坐標原點O重合.

∵EC=ED，EC=2,

∴ED=2.

∵D是邊OC所在直線上一點，且D與C不重合,

∴D點坐標為(2,0) .

(ⅱ) 如圖4，點E在邊OA的延長線上，且AE=2.

∵AC=AE=2,

∴∠E=∠ACE.

∵△AOC為等邊三角形,

∴∠OAC =∠ACO=60°.

∴∠E=∠ACE=30°.

∴∠OCE=90°.

∵EC=ED,

∴點D與點C重合.

這與題目條件中的D與C不重合矛盾，所以圖4中的情況不符合要求，舍去.

綜上所述：D(2,0). …

（2）或.