Question

如圖，已知AB是⊙O的一條固定的弦，C是弦AB上的一動點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．

（1）若OB=2，∠B=28°，求弦AB的長（精確到0.01）；
（2）當(dāng)∠B=30°，且∠D=20°時，求∠BOD的度數(shù)；
（3）若∠B=α度（0°＜α＜45°），且△ACD為等腰三角形，求它的底角的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）首先過點O作OM⊥AB，則AM=BM，在Rt△OBM中，利用cosB=

BM

OB

，即可求出BM的長，進(jìn)而求出AB即可；
（2）首先得出OA=OB=OD，利用∠B=30°，∠D=20°，得出∠DAO=∠D=20°，∠OAB=∠B=30°，求出∠DAB=50°，即可利用圓周角定理得出∠DOB度數(shù)；
（3）利用等腰三角形的性質(zhì)利用當(dāng)DA=DC時，當(dāng)CA=CD時，當(dāng)AC=AD時求出底角的度數(shù)即可．

解答：解：（1）如圖1，過點O作OM⊥AB，則AM=BM，
在Rt△OBM中，
∵cosB=

BM

OB

，
∴BM=OB•cosB=2×cos28°≈1.766，
故AB=2×1.766≈3.53；

（2）如圖1，連接AO，
∵OA、OB、OD是⊙O的半徑，
∴OA=OB=OD，
∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAO=∠D=20°，∠OAB=∠B=30°，
∴∠DAB=50°，
∴∠DOB=100°；

（3）如備用圖1，設(shè)∠D=x°，連接OA，
∵OD=OA=OB，
∴∠DAO=∠ADO=x，∠CAO=∠ABO=α，
若DA=DC，則x+2（x+α）=180，
故x=

180-2α

3

，
則底角∠DAC=x+α=

180-2α

3

+α=60+

1

3

α，
若CA=CD，顯然∠CAD＞x，此種情況不存在，
若AC=AD，則2x+x+α=180，
故x=

180-α

3

，
則底角∠D=x=60-

1

3

α．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識，注意分類討論思想的應(yīng)用得出符號要求的答案，不要漏解．