Question

(1)如圖(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.

(2) 如圖(2)，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.

(3) 拓展與應用：如圖(3)，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合）,點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀.

 

Answer 1

解析：（1）因為DE=DA+AE，故通過證，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE.

（2）成立，仍然通過證明，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD.

（3）由得BD=AE，，與均等邊三角形，得，F(xiàn)B=FA，所以，即，所以，所以FD=FE，，再根據(jù)，得，即，故是等邊三角形.

證明：(1)∵BD⊥直線m,CE⊥直線m

∴∠BDA＝∠CEA=90°

∵∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠CAE=90°

∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD

又AB=AC

∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD= BD+CE

(2)∵∠BDA =∠BAC=_，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—

∴∠DBA=∠CAE

∵∠BDA=∠AEC=_，AB=AC

∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE

（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，

BD=AE，∠DBA =∠CAE

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形

∴∠ABF=∠CAF=60°

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF

∴∠DBF=∠FAE…

∵BF=AF

∴△DBF≌△EAF…

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF為等邊三角形.

點撥：利用全等三角形的性質證線段相等是證兩條線段相等的重要方法.