如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段BA-AD-DC以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)Q向上作射線QKIBC,交折線段CD-DA-AB于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).
(1)當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時(shí),求t的值,并指出此時(shí)BQ的長(zhǎng);
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AD上時(shí),t為何值能使PQ∥DC?
(3)t為何值時(shí),四點(diǎn)P、Q、C、E成為一個(gè)平行四邊形的頂點(diǎn)?
(4)△PQE能為直角三角形時(shí)t的取值范圍
0<t≤25且t≠
155
8
或t=35
0<t≤25且t≠
155
8
或t=35
.(直接寫出結(jié)果)(注:備用圖不夠用可以另外畫)
分析:(1)把BA,AD,DC它們的和求出來(lái)再除以速度每秒5個(gè)單位就可以求出t的值,然后也可以求出BQ的長(zhǎng);
(2)如圖1,若PQ∥DC,又AD∥BC,則四邊形PQCD為平行四邊形,從而PD=QC,用t分別表示QC,BA,AP,然后就可以得出關(guān)于t的方程,解方程就可以求出t;
(3)分情況討論,當(dāng)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí),E在CD上運(yùn)動(dòng).0≤t≤10,QC的長(zhǎng)度≤30,PE的長(zhǎng)度>AD=75,QC<PE,此時(shí)不能構(gòu)成以P、Q、C、E為頂點(diǎn)的平行四邊形;當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AD上,E在AD上,且P在E的左側(cè)時(shí),P、Q、C、E為頂點(diǎn)的四邊形可能是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)建立方程求出其解就可以得出結(jié)論;當(dāng)P在E點(diǎn)的右側(cè)且在AD上時(shí),t≤25,P、Q、C、E為直角梯形,當(dāng)P在CD上,E在AD上QE與PC不平行,P、Q、C、E不可能為平行四邊形,
(4)①當(dāng)點(diǎn)P在BA(包括點(diǎn)A)上,即0<t≤10時(shí),如圖2.過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G,則PG=PB•sinB=4t,又有QE=4t=PG,易得四邊形PGQE為矩形,此時(shí)△PQE總能成為直角三角形
②當(dāng)點(diǎn)P、E都在AD(不包括點(diǎn)A但包括點(diǎn)D)上,即10<t≤25時(shí),如圖1.由QK⊥BC和AD∥BC可知,此時(shí),△PQE為直角三角形,但點(diǎn)P、E不能重合,即5t-50+3t-30≠75,解得t≠
155
8
.③當(dāng)點(diǎn)P在DC上(不包括點(diǎn)D但包括點(diǎn)C),即25<t≤35時(shí),如圖3.由ED>25×3-30=45,
可知,點(diǎn)P在以QE=40為直徑的圓的外部,故∠EPQ不會(huì)是直角.由∠PEQ<∠DEQ,可知∠PEQ一定是銳角.對(duì)于∠PQE,
∠PQE≤∠CQE,只有當(dāng)點(diǎn)P與C重合,即t=35時(shí),如圖4,∠PQE=90°,△PQE為直角三角形.
解答:解:(1)t=(50+75+50)÷5=35(秒)時(shí),點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C,
此時(shí),QC=35×3=105,
∴BQ的長(zhǎng)為135-105=30.
(2)如圖1,若PQ∥DC,
∵AD∥BC,
∴四邊形PQCD為平行四邊形,
∴PD=QC,
由QC=3t,BA+AP=5t
得50+75-5t=3t,
解得t=
125
8

∴當(dāng)t=
125
8
時(shí),PQ∥DC.
(3)當(dāng)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí),E在CD上運(yùn)動(dòng).0≤t≤10,QC的長(zhǎng)度≤30,PE的長(zhǎng)度>AD=75,QC<PE,此時(shí)不能構(gòu)成以P、Q、C、E為頂點(diǎn)的平行四邊形;
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AD上,E在AD上,且P在E的左側(cè)時(shí),P、Q、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,如圖5,
∴PE=QC.
如圖1,作DH⊥BC于H,AG⊥BC于G,
∠AGB=∠DHC=90°
∴四邊形AGHD是矩形,
∴GH=AD=75.AG=DH.
在△ABG和△DCH中,
AB=DC
AG=DH
∠AGB=∠DHC
,
∴△ABG≌△DCH,
∴BG=CH=
1
2
(135-75)=30,
∴ED=3(t-10)
∵AP=5t-50,
∴PE=75-(5t-50)-3(t-10)=155-8t.
∵QC=3t,
∴155-8t=3t,
t=
155
11

當(dāng)P在E點(diǎn)的右側(cè)且在AD上時(shí),t≤25,P、Q、C、E為直角梯形,
當(dāng)P在CD上,E在AD上QE與PC不平行,P、Q、C、E不可能為平行四邊形,
∴t=
155
11
;
(4)①當(dāng)點(diǎn)P在BA(包括點(diǎn)A)上,即0<t≤10時(shí),如圖2.
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G,則PG=PB•sinB=4t,
又有QE=4t=PG,易得四邊形PGQE為矩形,此時(shí)△PQE總能成為直角三角形.
②當(dāng)點(diǎn)P、E都在AD(不包括點(diǎn)A但包括點(diǎn)D)上,即10<t≤25時(shí),如圖1.
由QK⊥BC和AD∥BC可知,此時(shí),△PQE為直角三角形,但點(diǎn)P、E不能重合,
即5t-50+3t-30≠75,解得t≠
155
8
.③當(dāng)點(diǎn)P在DC上(不包括點(diǎn)D但包括點(diǎn)C),
即25<t≤35時(shí),如圖3.由ED>25×3-30=45,
可知,點(diǎn)P在以QE=40為直徑的圓的外部,故
∠EPQ不會(huì)是直角.
由∠PEQ<∠DEQ,可知∠PEQ一定是銳角.
對(duì)于∠PQE,∠PQE≤∠CQE,只有當(dāng)點(diǎn)P與C
重合,即t=35時(shí),如圖4,∠PQE=90°,△PQE
為直角三角形.
綜上所述,當(dāng)△PQE為直角三角形時(shí),t的取值范圍是0<t≤25且t≠
155
8
或t=35.
故答案為:0<t≤25且t≠
155
8
或t=35.
點(diǎn)評(píng):本題綜合性很強(qiáng),考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用,勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用及矩形的性質(zhì)的運(yùn)用,把圖形的變換放在梯形的背景中,利用等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合已知條件探究圖形的變換,根據(jù)變換的圖形的性質(zhì)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)分別求出當(dāng)點(diǎn)Q位于AB、BC上時(shí),S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

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