Question

如圖：已知等邊三角形ABC，D為AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，CD=nDA，連線段BD，M為線段BD上一點(diǎn)，∠AMD=60°，AM交BC于E．

（1）若n=1，則=　　．=　　；

（2）若n=2，求證：BM=6DM；

（3）當(dāng)n=　　時(shí)，M為BD中點(diǎn)．

（直接寫結(jié)果，不要求證明）

 

Answer 1

【答案】

（1）1  2 （2）見解析 （3）

【解析】

試題分析：（1）CD=nDA，當(dāng)n=1時(shí)，CD=DA，據(jù)等邊三角形ABC的三線合一，可以得出∠BDA=90°，由∠AMD=60°，可得∠EAD=30°，

又∠BAC=60°，可得∠BAE=30°，AE為∠BAC的角平分線．依據(jù)三線合一可得BE=EC．容易得AM=2MD，AM=BM．問題得到解決．

（2）若n=2，則CD=2DA，△ABC是等邊三角形，∠AMD=60°，可證明△BAD≌△ACE，得AD=CE，CD=BE；作輔助線CF∥BD交AE于F，可得===①，==②，觀察①②的乘積，可得BM、DM的數(shù)量關(guān)系．

（3）由M為BD中點(diǎn)，可知BM=MD．由∠AMD=60°，△ABC為等邊三角形，可得△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得AD=，DC=，運(yùn)用比例的性質(zhì)合理變形，問題可求．

（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，CD=DA，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BD⊥AC，∠BAC=60°，

∴∠ADM=90°，

又∵∠AMD=60°，

∴∠MAD=30°，

∴∠BAE=∠BAC﹣∠MAD=30°，即∠BAE=∠EAD，

∴AE為△ABC的中線，

∴；

在△AMD中，MD=AM，（30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）

∵∠BAM=∠ABM=30°，

∴AM=BM，

∴．

（2）證明：

∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°

∠CAE+∠BAE=60°

∴∠ABD=∠CAE

又∵BA=CA，∠BAD=∠ACE=60°

∴△BAD≌△ACE（ASA）

∴AD=CE∴CD=BE

作CF∥BD交AE于F，

∴===①，==②，

∴①×②得=，

∴BM=6DM．

（3）解：

∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，

∴BM=MD，

∵△BAD≌△ACE（ASA）

∴AD=CE

∴CD=BE

∵△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD

∴AD=③，DC=④，

③?④得CD=AD，

∴n=．

考點(diǎn)：平行線分線段成比例；全等三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)．

點(diǎn)評(píng)：此題為考查三角形中線段的倍數(shù)關(guān)系，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用能力，解題關(guān)鍵在如何作輔助線．