Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F分別為OB，OD的中點，延長AE至G，使EG＝AE，連接CG．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）當AB與AC滿足什么數(shù)量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由見解析

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行線的性質得出∠ABE=∠CDF，證出BE=DF，由SAS證明△ABE≌△CDF即可；
（2）證出AB=OA，由等腰三角形的性質得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位線定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四邊形EGCF是平行四邊形，即可得出結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵點E，F分別為OB，OD的中點，

∴BE＝OB，DF＝OD，

∴BE＝DF，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：當AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC＝2OA，AC＝2AB，

∴AB＝OA，

∵E是OB的中點，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG＝90°，

同理：CF⊥OD，

∴AG∥CF，

∴EG∥CF，

∵EG＝AE，OA＝OC，

∴OE是△ACG的中位線，

∴OE∥CG，

∴EF∥CG，

∴四邊形EGCF是平行四邊形，

∵∠OEG＝90

∴四邊形EGCF是矩形．