Question

如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足分別為E、F，連接EF，求證：
（1）F為BD的中點(diǎn)．
（2）△DEF為等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形同一底上的兩底角相等求出∠ABC=∠A=60°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD=∠CBD=30°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠CDB=30°，從而得到∠CBD=∠CDB，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)求出CB=CD，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得F為BD的中點(diǎn)；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DF=BF=EF，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BDE=60°，然后根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明．

解答：（1）證明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠ABC=∠A=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵CF⊥BD，
∴F為BD的中點(diǎn)；

（2）∵DE⊥AB，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，
∴DF=BF=EF，
∵∠ABD=30°，
∴∠BDE=90°-30°=60°，
∴△DEF為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，角平分線定義，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊三角形的判定，根據(jù)角的度數(shù)的相等求出相等的角是解題的關(guān)鍵．