Question

勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉．生活中到處可見黃金分割的美．如圖，線段AB=1，點(diǎn)P₁是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP₁＜BP₁），點(diǎn)P₂是線段AP₁的黃金分割點(diǎn)（AP₂＜P₁P₂），點(diǎn)P₃是線段AP₂的黃金分割點(diǎn)（AP₃＜P₂P₃），…，依此類推，則AP_n的長度是________．

Answer 1

（）ⁿ
分析：根據(jù)黃金分割的定義得到BP₁=AB=，則AP₁=1-=，同理得到AP₂=×=（）²，AP₃=（）³，根據(jù)此規(guī)律得到AP_n=（）ⁿ．
解答：∵線段AB=1，點(diǎn)P₁是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP₁＜BP₁），
∴BP₁=AB=，
∴AP₁=1-=，
∵點(diǎn)P₂是線段AP₁的黃金分割點(diǎn)（AP₂＜P₁P₂），
∴AP₂=×=（）²，
∴AP₃=（）³，
∴AP_n=（）ⁿ．
故答案為（）ⁿ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)；其中AC=AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．