Question

如圖，等腰直角△ABC的斜邊AB上有兩點M、N，且滿足MN²=BN²+AM²，將△ABC繞著C點順時針旋轉90°后，點M、N的對應點分別為T、S．
（1）請畫出旋轉后的圖形，并證明△MCN≌△MCS；
（2）求∠MCN的度數．

Answer 1

解：（1）畫圖形如右圖所示：
證明：由旋轉的性質可得：CS=CN，AS=BN，
又∵MN²=BN²+AM²，
∴MN²=AS²+AM²=MS²，
∴MS=MN，
又∵CS=CN，CM=CM，
∴△MCN≌△MCS（SSS）．

（2）由（1）得：△MCN≌△MCS，
∴∠NCM=∠MCS=45°．
分析：（1）根據旋轉角度、旋轉方向、旋轉點找出各點的對應點，順次連接即可得出旋轉后的圖形，根據MN²=BN²+AM²，可證得MS=MN，從而利用SSS可證得結論．
（2）根據旋轉角為90°，再由（1）的結論即可得出答案．
點評：本題考查旋轉作圖及三角形全等的證明，難度較大，關鍵是掌握旋轉前后線段的長度，角的度數均不變．