Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，，⊙B的半徑長為1，⊙B交邊CB于點P，點O是邊AB上的動點．
（1）如圖1，將⊙B繞點P旋轉180°得到⊙M，請判斷⊙M與直線AB的位置關系；
（2）如圖2，在（1）的條件下，當△OMP是等腰三角形時，求OA的長； 
（3）如圖3，點N是邊BC上的動點，如果以NB為半徑的⊙N和以OA為半徑的⊙O外切，設NB=y，OA=x，求y關于x的函數(shù)關系式及定義域．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點M作MD⊥AB，垂足為D，根據(jù)MB=2，結合sin∠B的值，可得出MD的長，與圓M的半徑進行比較即可得出⊙M與直線AB的位置關系；
（2）根據(jù)（1）得出MD＞MP，OM＞MP，從而△OMP是等腰三角形可分兩種情況討論，①OP=MP，②OM=OP，分別運用相似三角形的性質求解OA即可；
（3）先表示出NF、BF，從而可得出OF的表達式，由⊙N和⊙O外切，可得出ON=x+y，在Rt△NFO中利用勾股定理，可得出y與x的關系式，也可得出自變量的定義域．
解答：解：（1）⊙M與直線AB相離，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵，AC=6，
∴AB=10，．
過點M作MD⊥AB，垂足為D，
在Rt△MDB中，∠MDB=90°，，
∵MB=2，
∴＞1，
故可得⊙M與直線AB相離；

（2）∵＞1=MP，
∴OM＞MP．
分兩種情況討論，
1°當OP=MP時，此時OP=MP=PB，
故易得∠MOB=90°，
∴，
∴OB=，
∴OA=；
2°當OM=OP時，過點O作OE⊥BC，垂足為E
EB=EP+PB=+1=，
此時，
∴OB=，
∴OA=．
綜上可得，當△OMP是等腰三角形時，OA的長為或；

（3）連接ON，過點N作NF⊥AB，垂足為F．
在Rt△NFB中，∠NFB=90°，，
設NB=y，則NF=y，BF=y，
故可得OF=10-x-y，
∵⊙N和⊙O外切，
∴ON=x+y，
在Rt△NFO中，∠NFO=90°，則ON²=OF²+NF²，
即，
故可得，定義域為：0＜x＜5．
點評：此題屬于圓的綜合題，涉及了直線與圓的位置關系、勾股定理及等腰三角形的性質，綜合性較強，難點在第二問和第三問，解答時注意分類討論思想的運用，另外要求我們能將所學知識融會貫通．