Question

如圖1，小紅家陽(yáng)臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架．如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB．CD相交于點(diǎn)O，B．D兩點(diǎn)立于地面，經(jīng)測(cè)量：

AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開(kāi)，扣鏈EF成一條直線，且EF=32cm．

（1）求證：AC∥BD；

（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)（精確到0.1°）；

（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長(zhǎng)度達(dá)到122cm，垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．

（參考數(shù)據(jù)：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，

tan61.9°≈0.553；可使用科學(xué)記算器）

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析（2）61.9°（3）會(huì)拖落到地面，理由見(jiàn)解析

【解析】（1）證明：證法一：∵AB．CD相交于點(diǎn)O，

∴∠AOC=∠BOD…1分

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD），

同理可證：∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD），

∴∠OAC=∠OBD，…2分

∴AC∥BD，…3分

 證法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，

∴OB=OD=85cm，

∴…1分

又∵∠AOC=∠BOD

∴△AOC∽△BOD，

∴∠OAC=∠OBD；…2分

∴AC∥BD…3分

（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；

作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM=16cm；…4分

∴cos∠OEF=0.471，…5分

用科學(xué)記算器求得∠OEF=61.9°…6分；

（3）解法一：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面；…7分

在Rt△OEM中，=30cm…8分，

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，

同（1）可證：EF∥BD，

∴∠ABH=∠OEM，則Rt△OEM∽R(shí)t△ABH，

∴…9分

所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．

解法二：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面；…7分

同（1）可證：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；…8分

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，在Rt△ABH中

，

AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm…9分

所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．

（1）根據(jù)等角對(duì)等邊得出∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD）和∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD），進(jìn)而利用平行線的判定得出即可；

（2）首先作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM=16cm，利用cos∠OEF=0.471，即可得出∠OEF的度數(shù)；

（3）首先證明Rt△OEM∽R(shí)t△ABH，進(jìn)而得出AH的長(zhǎng)即可．