Question

【題目】如圖①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，點(diǎn)E是邊AD靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是BC延長線上一點(diǎn)，且EP⊥EB，點(diǎn)G是BE上任意一點(diǎn)，過G作GH∥BP，交EP于點(diǎn)H．將△EGH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分別是G、H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．

（1）求BP的長；

（2）求的值；

（3）如圖②當(dāng)α=60°時(shí)，點(diǎn)M恰好落在GH上，延長BM交NP于點(diǎn)Q，取EP的中點(diǎn)K，連接QK．若點(diǎn)G在線段EB上運(yùn)動(dòng)，問QK是否有最小值？若有最小值，請(qǐng)求出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到EB的什么位置時(shí)，QK有最小值及最小值是多少，若沒有最小值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PB=4；（2）=；（3）點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到EB的中點(diǎn)位置時(shí)，QK有最小值，最小值為1．

【解析】

（1）由勾股定理得BE=2，易證△BAE∽△PEB，從而得=，即可求解；

（2）由tan∠ABE==，可得∠ABE=30°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PE=EB，EN=EM，∠BEM=∠PEN，進(jìn)而得出△BEM∽△PEN，即可求解；

（3）取PB的中點(diǎn)O，連接OQ，OK．設(shè)BQ交PE于J，易得BEJ=∠PQJ=90°，從而得到OQ =2，OK=1，由QK≥OQ-OK，可得QK的最小值為1，此時(shí)O，K，Q共線，然后根據(jù)α=60°證明EGM是等邊三角形，求出∠EBM=30°，∠GMB=30°即可得解．

（1）如圖①中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABC=90°，

∵AE=AD=1，AB=，

∴BE==2，

∵BE⊥PE，

∴∠PEB=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，∠CBE+∠EPB=90°，

∴∠ABE=∠EPB，

∵∠A=∠BEP=90°，

∴△BAE∽△PEB，

∴=，

∴PB==4；

（2）∵在Rt△ABE中， tan∠ABE==，

∴∠ABE=30°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EBC=60°，

∵GH∥BC，

∴∠EGH=∠EBC=∠EMN=60°，

∵∠MEN=∠GEH=90°，

∴PE=EB，EN=EM，

∴==，

∵∠PEB=∠MEN=90°，

∴∠BEM=∠PEN，

∴△BEM∽△PEN，

∴==；

（3）如圖2中，取PB的中點(diǎn)O，連接OQ，OK．設(shè)BQ交PE于J．

∵△BEM∽△PEN，

∴∠EBM=∠EPN，

∵∠BJE=∠PJQ，

∴∠BEJ=∠PQJ=90°，

∵BO=OP，

∴OQ=PB=2，

∵PO=OB，PK=KE，

∴OK=BE=1，

∴QK≥OQ-OK=1，

∴QK的最小值為1，此時(shí)O，K，Q共線，

∴OQ∥BE，

∴∠QOP=∠EBP=60°，

∵α=60°時(shí)，點(diǎn)M恰好落在GH上，

∴∠EGM=60°，

∴EGM是等邊三角形，

又∵OQ=OB，

∴∠OBQ=×60°=30°，

∴∠EBM=∠EBP-∠OBQ=60°-30°=30°，

∴∠GMB=∠EGM-∠EBM=60°-30°=30°，

∴BG=GM=GE，

∴點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，

綜上所述：點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到EB的中點(diǎn)位置時(shí)，QK有最小值，最小值為1．