Question

如圖，以正方形ABCD的邊AB向形外作等邊△ABE，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BN位置，連接EN、AM、CM.

（1）求證△AMB≌△ENB   （3分）

（2）①當(dāng)M點(diǎn)在                 時(shí)，AM+CM的值最小.（3分）

     ②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由.（3分）

（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).（3分）

 

Answer 1

1）略   （3分）    2）①BD中點(diǎn)    （3分）②連EC，EC與BD的交點(diǎn)為M  （1分）

由1）知EN＝AM  再證△BMN是等邊三角形   ∴MN＝BM

則AM+BM+CM＝EN+MN+CM＝EC

由“兩點(diǎn)之間線段最短”，得AM+BM+CM＝EN+MN+CM＝EC為最小值          （3分）

3）設(shè)正方形邊長(zhǎng)BC＝

過點(diǎn)E作EF⊥BC     可證中，∠EBF＝30°  ∴EF＝   FB＝

∵中，

∴

解方程得     （

∴正方形邊長(zhǎng)為            3分