(2012•萊蕪)如圖,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)的拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;
(2)設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)D,連接AC、AD,求△ACD的面積;
(3)點(diǎn)E為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線(xiàn)EF,與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)F.問(wèn)是否存在點(diǎn)E,使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似?若存在,求點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),可先將拋物線(xiàn)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式,再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上面的解析式中,即可確定待定系數(shù)的值,由此得解.
(2)可先求出A、C、D三點(diǎn)坐標(biāo),求出△ACD的三邊長(zhǎng)后,可判斷出該三角形的形狀,進(jìn)而得到該三角形的面積.(也可將△ACD的面積視為梯形與兩個(gè)小直角三角形的面積差)
(3)由于直線(xiàn)EF與y軸平行,那么∠OCB=∠FED,若△OBC和△EFD相似,則△EFD中,∠EDF和∠EFD中必有一角是直角,可據(jù)此求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo),再代入直線(xiàn)BC的解析式中,即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
解答:解:(1)依題意,設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為 y=a(x-2)2-1,代入C(O,3)后,得:
a(0-2)2-1=3,a=1
∴拋物線(xiàn)的解析式:y=(x-2)2-1=x2-4x+3.

(2)由(1)知,A(1,0)、B(3,0);
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為:y=kx+3,代入點(diǎn)B的坐標(biāo)后,得:
3k+3=0,k=-1
∴直線(xiàn)BC:y=-x+3;
由(1)知:拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸:x=2,則 D(2,1);
∴AD=
AG2+DG2
=
2
,AC=
OC2+OA2
=
10
,CD=
(3-1)2+22
=2
2

即:AC2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形,且AD⊥CD;
∴S△ACD=
1
2
AD•CD=
1
2
×
2
×2
2
=2.

(3)由題意知:EF∥y軸,則∠FED=∠OCB,若△OCB與△FED相似,則有:
①∠DFE=90°,即 DF∥x軸;
將點(diǎn)D縱坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中,得:
x2-4x+3=1,解得 x=2±
2
;
當(dāng)x=2+
2
時(shí),y=-x+3=1-
2
;
當(dāng)x=2-
2
時(shí),y=-x+3=1+
2

∴E1(2+
2
,1-
2
)、E2(2-
2
,1+
2
).
②∠EDF=90°;
易知,直線(xiàn)AD:y=x-1,聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式有:
x2-4x+3=x-1,
x2-5x+4=0,
解得 x1=1、x2=4;
當(dāng)x=1時(shí),y=-x+3=2;
當(dāng)x=4時(shí),y=-x+3=-1;
∴E3(1,2)、E4(4,-1);
綜上,存在符合條件的點(diǎn)E,且坐標(biāo)為:(2+
2
,1-
2
)、(2-
2
,1+
2
)、(1,2)或(4,-1).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、圖形面積的解法以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí);需要注意的是,已知兩個(gè)三角形相似時(shí),若對(duì)應(yīng)邊不相同,那么得到的結(jié)果就不一定相同,所以一定要進(jìn)行分類(lèi)討論.
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3
,∠A=60°,以點(diǎn)D為圓心的⊙D與邊AB相切于點(diǎn)E.
(1)求證:⊙D與邊BC也相切;
(2)設(shè)⊙D與BD相交于點(diǎn)H,與邊CD相交于點(diǎn)F,連接HF,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π);
(3)⊙D上一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā),按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半周,當(dāng)S△HDF=
3
S△MDF時(shí),求動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)(結(jié)果保留π).

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