Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），其對稱軸I為x=﹣1．

（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標(biāo)；

（2）若動點P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動點N在對稱軸I上．

①當(dāng)PA⊥NA，且PA=NA時，求此時點P的坐標(biāo)；

②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時，求四邊形PABC面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），其對稱軸I為x=﹣1，

∴，

解得：．

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，

∴頂點坐標(biāo)為（﹣1，4）；

（2）令y=﹣x²﹣2x+3=0，解得x=﹣3或x=1，

∴點A（﹣3，0），B（1，0），

作PD⊥x軸于點D，

∵點P在y=﹣x²﹣2x+3上，

∴設(shè)點P（x，﹣x²﹣2x+3）

①∵PA⊥NA，且PA=NA，

∴△PAD≌△AND，

∴OA=PD

即y=﹣x²﹣2x+3=2，

解得x=﹣1（舍去）或x=﹣﹣1，

∴點P（﹣﹣1，2）；

②∵S_{四邊形BCPA}=S_△OBC+S_△OAC=2+S_△APC

∵S_△AOC=，S_△OCP=x，S_△OAP=•3•|y_P|=﹣x²﹣3x+

∴S_△APC=S_△OAP+S_△OCP﹣S_△AOC=x+（﹣x²﹣3x+）﹣=﹣x²﹣x=﹣（x﹣）²+，

∴當(dāng)x=﹣時，S_△ACP最大值=，

此時M（﹣，﹣），

S_{四邊形PABC最大}=．

點評： 本題考查了二次函數(shù)綜合題．用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法．求拋物線的最值的方法是配方法．