如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形的四條邊上，已知EF∥GH，EF=GH．
（1）若AE=AH=數(shù)學(xué)公式，求四邊形EFGH的周長(zhǎng)和面積；
（2）求四邊形EFGH的周長(zhǎng)的最小值．

解：連接AC、BD，由勾股定理，得AC=BD=a，
（1）∵AB=AD=a，AE=AH==AD，
∴==，
∴EH∥BD，==，
EH=a，
同理可得GH=a，
∵EF∥GH，EF=GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
根據(jù)正方形的性質(zhì)可知AC⊥BD，
∴?EFGH為矩形，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2（a+a）=2a，
四邊形EFGH的面積=a×a=a2；

（2）設(shè)AE=x，則BE=a-x，
當(dāng)EF∥GH，EF=GH時(shí)，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴四邊形EFGH為菱形，
四邊形EFGH周長(zhǎng)為：4=4，
當(dāng)x=-=時(shí)，周長(zhǎng)最小為2a．
分析：（1）當(dāng)AE=AH=時(shí)，可證EH∥BD∥FG，利用相似比可求EH與BD的關(guān)系，同理可得GH與AC的關(guān)系，可求四邊形EFGH的周長(zhǎng)，又正方形對(duì)角線互相垂足，可證四邊形EFGH為矩形，可求四邊形EFGH的面積；
（2）當(dāng)EF∥GH，EF=GH時(shí)，可證四邊形EFGH為菱形，設(shè)AE=x，則BE=a-x，根據(jù)勾股定理求菱形的邊長(zhǎng)，再表示周長(zhǎng)，求最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值在求四邊形周長(zhǎng)最值中的運(yùn)用．關(guān)鍵是判斷四邊形的形狀，利用相似，勾股定理表示四邊形的周長(zhǎng)和面積．
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19、如圖：正方形ABCD，M是線段BC上一點(diǎn)，且不與B、C重合，AE⊥DM于E，CF⊥DM于F．求證：AE2+CF2=AD2．

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精英家教網(wǎng)如圖，正方形ABCD中，E點(diǎn)在BC上，AE平分∠BAC．若BE=
2
cm，則△AEC面積為
 
cm2．

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精英家教網(wǎng)如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A、1B、2C、3D、4

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17、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放于點(diǎn)A處，該三角板的兩條直角邊與CD交于點(diǎn)F，與CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，四邊形AECF的面積是
16
．

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如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG．
（1）若ED：DC=1：2，EF=12，試求DG的長(zhǎng)．
（2）觀察猜想BE與DG之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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