Question

（2013•天門模擬）如圖1，P為正方形ABCD邊BC上任一點，BG⊥AP于點G，在AP的延長線上取點E，使AG=GE，連接BE，CE．

（1）求證：BE=BC；
（2）如圖2，∠CBE的平分線交AE于N點，連接DN，求證：BN+DN=

2

AN．

Answer 1

分析：（1）BG垂直平分線段AE，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，AB=BE，又AB=BC，所以BE=BC；
（2）標準答案上僅用等腰三角形和直角三角形通過∠GBP+∠PBN=∠GBN=∠PNB=∠NBE+∠NEB，得出Rt△BPG是等腰直角三角形，進而得到，AM=GN；

解答：（1）證明：∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分線段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；

（2）證明：連接CN，延長BN交CE于H．
自點D作DM⊥AN于M，

顯然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，
延長AE交DC延長線于F，則有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五點共圓，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所對圓周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，

2

DM=

2

AG=DN，

2

GN=BN，

2

AG+

2

GN=

2

AN=BN+DN．

點評：本題綜合性較強，主要利用線段垂直平分線段判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，綜合運用各定理和性質(zhì)，并分析題目用已知條件和所要證明的結(jié)論之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．