Question

（2012•鄭州模擬）如圖，在矩形ABCD中，點M是AD的中點，AD=4

2

，CD=2

2

，直角∠PME繞點M進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別和BC、CD交于點P和點E，連接PE交MC于點Q．
（1）判斷線段MP、ME的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；
（2）動點P、E分別在線段BC和CD上運(yùn)動時，設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中，當(dāng)y取最小值時，判斷PE與BM的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點M作MF⊥BC于點F，先判斷出四邊形CDMF是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出MD=MF，∠DMF=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠DME=∠FMP，然后利用“角邊角”證明△MFP和△MDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）利用勾股定理列式求出MC的長，同理求出MB，然后判斷出△MBC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠MBC=∠MCB=45°，再表示出QC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出BP=EC，然后根據(jù)S_△PCQ+S_△CEQ=S_△PCE列式整理即可得解；
（3）利用二次函數(shù)的最值問題求出y取最小值時的x的值2

2

，從而判斷出點P、Q分別為BC、CM的中點，再根據(jù)三角形的中位線定理解答即可．

解答：解：（1）MP=ME．
理由如下：過點M作MF⊥BC于點F，
在矩形ABCD中，點M是AD的中點，AD=4

2

，CD=2

2

，
∴四邊形CDMF是正方形，
∴MD=MF，∠DMF=90°，
∵∠PME=90°，
∴∠DME=∠FMP，
∵在△MFP和△MDE中，

∠DME=∠FMP MD=MF ∠D=∠MFP=90°

，
∴△MFP≌△MDE（ASA），
∴MP=ME；

（2）在△MDC中，MC²=MD²+CD²=（2

2

）²+（2

2

）²=16，
∴MC=4，
同理MB=4，
又∵BC=4

2

，
∴△MBC是等腰直角三角形，∠MBC=∠MCB=45°，
依題意，得QC=4-y，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BP=EC=4

2

-x，
在△PEC中，由S_△PCQ+S_△CEQ=S_△PCE可得，

1

2

x•（4-y）sin45°+

1

2

（4

2

-x）•（4-y）sin45°=

1

2

x•（4

2

-x），
整理得，y=

1

4

x²-

2

x+4；

（3）∵y=

1

4

x²-

2

x+4=

1

4

（x-2

2

）²+2，
∴當(dāng)x=2

2

時，y有最小值2，
此時，點P、Q分別為BC、CM的中點，
∴PQ為△BCM的中位線，
∴PQ∥BM，
即：PE∥BM．

點評：本題是四邊形綜合題型，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，作輔助線把矩形分成兩個正方形并構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．