Question

如圖，在直角坐標系中，⊙C過原點O，交x軸于點A（2，0），交y軸于點B（0，2

3

）．
（1）求圓心的坐標；
（2）拋物線y=ax²+bx+c過O、A兩點，且頂點在正比例函數(shù)y=-

3

3

x的圖象上，求拋物線的解析式；
（3）過圓心C作平行于x軸的直線DE，交⊙C于D、E兩點，試判斷D、E兩點是否在（2）中的拋物線上；
（4）若（2）中的拋物線上存在點P（x₀，y₀），滿足∠APB為鈍角，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如圖線段AB是圓C的直徑，因為點A、B的坐標已知，根據平行線的性質即可求得點C的坐標；
（2）因為拋物線過點A、O，所以可求得對稱軸，即可求得與直線y=-

3

3

x的交點，即是二次函數(shù)的頂點坐標，利用頂點式或者一般式，采用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（3）因為DE∥x軸，且過點C，所以可得D、E的縱坐標為

3

，求得直徑AB的長，可得D、E的橫坐標，代入解析式即可判斷；
（4）因為AB為直徑，所以當拋物線上的點P在⊙C的內部時，滿足∠APB為鈍角，所以-1＜x₀＜0，或2＜x₀＜3．

解答：解：（1）∵⊙C經過原點O
∴AB為⊙C的直徑
∴C為AB的中點
過點C作CH垂直x軸于點H，則有CH=

1

2

OB=

3

，OH=

1

2

OA=1
∴圓心C的坐標為（1，

3

）；（2分）

（2）∵拋物線過O、A兩點，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
∵拋物線的頂點在直線y=-

3

3

x上，
∴頂點坐標為（1，-

3

3

），（3分）
把這三點的坐標代入拋物線y=ax²+bx+c，得

c=0 4a+2b+c=0 a+b+c=- 3 3

（4分）
解得

a= 3 3 b=- 2 3 3 c=0

（5分）
∴拋物線的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

x；（6分）

（3）∵OA=2，OB=2

3

，
∴AB=

22+(2 3 )2

=4，即⊙C的半徑r=2，
∴D（3，

3

），E（-1，

3

），（7分）
代入y=

3

3

x²-

2 3

3

x檢驗，知點D、E均在拋物線上；（8分）

（4）∵AB為直徑，
∴當拋物線上的點P在⊙C的內部時，滿足∠APB為鈍角，
∴-1＜x₀＜0，或2＜x₀＜3．（10分）

點評：此題考查了圓與二次函數(shù)的綜合知識，考查了待定系數(shù)法，考查了圓的性質，考查了二次函數(shù)的對稱性等，解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用．