(2012•保定二模)如圖1,已知:Rt△ABC和Rt△DBE,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,DB=EB.
(1)如圖1,點(diǎn)D在△ABC外,點(diǎn)E在AB邊上時(shí),求證:AD=CE,AD⊥CE;
(2)若將(1)中的△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部,如圖2,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請證明;
(3)若將(1)中的△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E在△ABC的外部,如圖3,請直接寫出AD,CE的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.
分析:(1)由AB=CB,DB=EB,加上夾角為直角相等,利用SAS可得出△ABD≌△CBE,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等可得出AD=CE,∠BAD=∠BCE,在直角三角形EBC中,兩銳角互余,再由對頂角相等,得到三角形AEF中兩個(gè)角互余,可得出CF垂直于AD,得證;
(2)(1)中的結(jié)論AD=CE,AD⊥CE仍然成立,理由為:由一對直角相等,都減去∠ABE,得到∠ABD=∠CBE,再由AB=BC,DB=EB,利用SAS得出△ABD≌△CBE,同(1)可得出AD=CE,AD⊥CE;
(3)結(jié)論為:AD=CE,AD⊥CE,證明方法同上.
解答:解:(1)證明:如圖1所示,
在△ABD和△CBE中,
AB=CB
∠ABD=∠CBE=90°
DB=EB
,
∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴AD=CE,∠BAD=∠BCE,
∵∠BCE+∠BEC=90°,∠AEF=∠BEC,
∴∠BAD+∠AEF=90°,
∴∠AFE=90°,
∴AD⊥CE;
(2)(1)中的結(jié)論AD=CE,AD⊥CE仍然成立,理由為:
證明:如圖2所示,
∵∠ABC=∠DBE=90°,
∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE,即∠ABD=∠CBE,
在△ABD和△CBE中,
AB=CB
∠ABD=∠CBE
DB=EB

∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴AD=CE,∠BAD=∠BCE,
∵∠BCE+∠BOC=90°,∠AOF=∠BOC,
∴∠BAD+∠AOF=90°,
∴∠AFE=90°,
∴AD⊥CE;
(3)AD=CE,AD⊥CE,理由為:
證明:如圖3所示,
∵∠ABC=∠DBE=90°,
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC,即∠ABD=∠CBE,
在△ABD和△CBE中,
AB=CB
∠ABD=∠CBE
DB=EB

∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴AD=CE,∠BAD=∠BCE,
∵∠BAD+∠AMB=90°,∠AMB=∠CMF,
∴∠BCE+∠CMF=90°,
∴∠AFC=90°,
∴AD⊥CE.
點(diǎn)評:此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),其中全等三角形的判定方法有:SSS;SAS;ASA;AAS,以及HL(直角三角形判定全等的方法).
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