Question

如圖所示，正方形ABCD的對角線相交于點O，以點O為一個頂點作正方形A′B′C′O，且2OA′＞AC，說明正方形A′B′C′O繞點O無論怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積不變．

Answer 1

分析：當OA′⊥AB時，重疊部分是正方形OEBF，面積是

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S_{正方形ABCD}，要證當OA′與AB不垂直時，重疊部分的面積不變，只要證明△BOF≌△AOE即可．

解答：解：∵四邊形ABCD，A′B′C′O都是正方形，
∴AO=BO，∠BAO=∠OBC=45°，
∴∠A′OC′=∠AOB=90°，
∴∠A′OC′-∠EOB=∠AOB-∠EOB，
即∠AOE=∠BOF，
∴△BOF≌△AOE，
∴S_△BOF=S_△AOE，
∴S_重疊=S_△BOF+S_△BOE=S_△AOE+S_△BOE=S_△AOB=

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4

S_{正方形ABCD}，
∵S_{正方形ABCD}為定值，
∴正方形A′B′C′O無論繞O點怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積不變．

點評：證明重合部分的面積不變，可以證明它等于一個特殊值，即轉動到特殊位置時的一個值．