Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+9-b²（b為常數(shù)）經(jīng)過坐標原點O，且與x軸交于另一點E，其頂點M在第一象限。
（1）求該拋物線所對應的函數(shù)關系式；
（2）設點A是該拋物線上位于x軸上方，且在其對稱軸左側的一個動點；過點A作x軸的平行線交該拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B，DE⊥x軸于點C。
①當線段AB、BC的長都是整數(shù)個單位長度時，求矩形ABCD的周長；
②求矩形ABCD的周長的最大值，并寫出此時點A的坐標；
③當矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積是否也同時取得最大值？請判斷井說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意代入原點到二次函數(shù)式
則9-b²=0，解得b=±3，
由題意拋物線的對稱軸大于0，，
所以b=3，
所以解析式為y=-x²+3x；
（2）根據(jù)兩個三角形相似的條件，由于在△ECD中，∠ECD=60°，
若△BCP與△ECD相似，則△BCP中必有一個角為60°，
下面進行分類討論：
①當P點直線CB的上方時，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°，
∴△PCB為鈍角三角形，
又∵△ECD為銳角三角形，
∴△ECD與△CPB不相似，
從而知在直線CB上方的拋物線上不存在點P使△CPB與△ECD相似；
②當P點在直線CB上時，點P與C點或B點重合，不能構成三角形，
∴在直線CB上不存在滿足條件的P點；
③當P點在直線CB的下方時，若∠BCP=60°，則P點與E₁點重合，
此時，∠ECD=∠BCE₁，
而，
∴，
∴△BCE與△ECD不相似，
若∠CBP=60°，則P點與A點重合，
根據(jù)拋物線的對稱性，同理可證△BCA與△CED不相似，
若∠CPB=60°，假設拋物線上存在點P使△CPB與△ECD相似，
∴EF=sin60°×4=，F(xiàn)D=1，
∴ED=，
∴當矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積能同時取得最大值。