Question

【題目】如圖，C為線段AE上一動點，（不與點A、E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交與點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．

求證：（1）AD=BE

（2）△APC≌△BQC

（3）△PCQ是等邊三角形．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

(1) 根據(jù)等邊三角形的三邊都相等，三個角都是60°，可以證明△ACD與△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=BE；

(2) 根據(jù)ADC≌△BEC來證明；

(3)證明△CDP≌△CEQ，根據(jù)全等三角形對應角相等可得PC=CQ，從而得到△CPQ是等邊三角形.

證明：（1）∵△ABC和△CDE是正三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ADC≌△BEC（SAS），

∴AD=BE；

（2）∵ADC≌△BEC，

∴∠ACP=∠BCQ，AC=BC，∠CAP=∠CBQ，

∴△APC≌△BQC（ASA）；

（3）∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，

∴△CDP≌△CEQ（ASA）．

∴CP=CQ，

∴∠CPQ=∠CQP=60°，

∴△CPQ是等邊三角形．