Question

在平面直角坐標系中，已知雙曲線y=

12

x

，動點C、D同時從原點出發(fā)，分別沿x軸、y軸正方向運動，運動速度為每秒1個單位長．
（1）經(jīng)過幾秒鐘，直線CD與雙曲線有一個公共點？
（2）設直線CD與雙曲線相交時，交點為A、B．當△AOB面積等于

7

2

時，求動點C、D兩點所經(jīng)過的時間t．

Answer 1

分析：（1）利用已知首先求出一次函數(shù)CD的解析式，再將兩函數(shù)聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根的判別式求出即可；
（2）首先設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得出x₁＜x₂，x₁+x₂=t，x₁x₂=12，再利用S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA，求出t即可．

解答：解：（1）∵動點C、D同時從原點出發(fā)，分別沿x軸、y軸正方向運動，運動速度為每秒1個單位長．
∴假設經(jīng)過t秒時，直線CD與雙曲線有一個公共點，
∴C點的坐標為：（t，0），D點的坐標為：（0，t），
∴假設CD所在直線解析式為：y=kx+b，將C，D代入解析式即可；
∴

b=t kt+t=0

，
解得：

b=t k=-1

，
∴y=-x+t，
將兩解析式聯(lián)立，-x+t=

12

x

，
整理得：x²-tx+12=0，
∵直線CD與雙曲線有一個公共點，
∴方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴b²-4ac=t²-48=0，
解得：t=4

3

或-4

3

（不合題意舍去）．
∴經(jīng)過4

3

秒鐘，直線CD與雙曲線有一個公共點；

（2）如圖：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
顯然x₁＜x₂，x₁+x₂=t，x₁x₂=12，
S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA=

1

2

t（x₂-x₁）=

1

2

t

(x1+x2) 2-4x1x2

=

1

2

t

t2-48

，
∵S_△ABO=

7

2

，
∴

7

2

=

1

2

t

t2-48

，
整理得：（t²）²-48t²-49=0，
解得：t²=49或-1（不合題意舍去），
∵t≥0，
∴t=7．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用以及三角形面積和一元二次方程根與系數(shù)的關系等知識，根據(jù)三角形面積S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA轉(zhuǎn)換三角形面積得出是常用的一種數(shù)學思想．