Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合）．
（1）以AB為對稱軸，作點C的對稱點為C′，連接CC′交AB于點E；
（2）在（1）的條件下，當BC=1，AC=2時，計算BE的長；
（3）在（2）的條件下，將△ABC繞AB所在直線旋轉一周，得到一個幾何體，求這個幾何體的表面積．

Answer 1

解：（1）過C作CC′⊥AB，交AB交于點E，
∵AB為圓O的直徑，
∴E為CC′的中點，
則C′為C關于AB的對稱點；
（2）∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，
根據(jù)勾股定理得：AB==，
∵S_△ABC=AB•CE=AC•BC，
∴CE==，
在Rt△BEC中，BC=1，CE=，
根據(jù)勾股定理得：BE==；
（3）∵AC=2，CE=，BC=1，
∴所求幾何體的表面積S=π•CE•AC+π•CE•BC=π．
分析：（1）過C作CC′⊥AB，交AB交于點E，由AB為圓O的直徑，垂直于CC′，利用垂徑定理得到E為CC′的中點，可得出此時C′與C對稱；
（2）由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到三角形ABC為直角三角形，由AC與BC的長，利用勾股定理求出AB的長，再利用三角形ABC面積的兩種求法求出斜邊AB邊上的高CE的長，在直角三角形EBC中，利用勾股定理即可求出BE的長；
（3）將△ABC繞AB所在直線旋轉一周，得到一個幾何體為兩底面重合的圓錐，底面半徑都為CE，母線分別為AC與BC，其表面積即為兩圓錐的側面積，利用側面積公式求出即可．
點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及圓錐的側面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．