Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.點E、F同時從B點出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動.已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設E點移動距離為x（x＞0）.

⑴△EFG的邊長是____（用含有x的代數(shù)式表示），當x＝2時，點G的位置在_______；

⑵若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求

①當0＜x≤2時，y與x之間的函數(shù)關系式；

②當2＜x≤6時，y與x之間的函數(shù)關系式；

⑶探求⑵中得到的函數(shù)y在x取何值時，存在最大值，并求出最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）x，D點（2）①y＝x²，②.當2＜x＜3時，y=;

當3≤x≤6時，y= (3) 當x＝時，y_最大＝

【解析】

試題分析：⑴根據(jù)題意等邊△EFG，已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，設E點移動距離為x（x＞0）.那么EF=2x-x=x,所以△EFG的邊長是x；當x＝2時，EF=2，等邊△EFG，則過G點做EF上的高交EF于M點，這高GM也是EF的中線，則BM=BE+EM=2+1=3，在△EFG中，由三角函數(shù)定義得GM=；在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°，過D做BC邊上高，交BC于N點，四邊形ABND是矩形，AD=BN，則AB="DN=" ，所以G與D點重合

⑵①當0＜x≤2時，△EFG在梯形ABCD內部，所以y＝x²； 

②分兩種情況：

Ⅰ.當2＜x＜3時，如圖1，點E、點F在線段BC上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.

由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，

所以，此時 y＝x²－（3x－6）²＝. 

Ⅱ.當3≤x≤6時，如圖2，點E在線段BC上，點F在射線CH上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，

∵EC＝6－x,

∴y＝（6－x）²＝  

⑶當0＜x≤2時，∵y＝x²在x＞0時，y隨x增大而增大，

∴x＝2時，y_最大＝；

當2＜x＜3時，∵y＝在x＝時，y_最大＝；

當3≤x≤6時，∵y＝在x＜6時，y隨x增大而減小，

∴x＝3時，y_最大＝. 

綜上所述：當x＝時，y_最大＝.

考點：直角梯形，等邊三角形，二次函數(shù)，三角函數(shù)

點評：本題考查直角梯形，等邊三角形，二次函數(shù)，三角函數(shù)，解答本題需要清楚直角梯形的常規(guī)輔助線做法，及性質，等邊三角形的性質，怎么能二次函數(shù)的關系式和其最值，掌握三角函數(shù)的定義，會運用三角函數(shù)來求直角三角形的邊