Question

天氣越來越炎熱，為了有效避免蚊子干擾，蚊帳倍受廣大消費者的青睞．某蚊帳專賣店試銷一種成本為80元/件的蚊帳．規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于35%，該專賣店每天的固定費用是300元．試經(jīng)銷發(fā)現(xiàn)，每件銷售單價相對成本提高x元（為整數(shù)）與日平均銷售量y件之間的關系符合一次函數(shù)y=kx+b，且當x=10時，y=100；x=20時，y=80．
（1）求一次函數(shù)的關系式y(tǒng)=kx+b；
（2）該蚊帳專賣店日平均獲得毛利潤為W元（毛利潤=銷售收入-成本-固定費用），求W關于x的函數(shù)關系式；并求當銷售單價為多少元時，日平均毛利潤最大，最大日平均毛利潤是多少元？
（3）若該批蚊帳總共有1080件，剛好在規(guī)定的a天（a為整數(shù)）內全部銷售完畢，則a的值是

a=10或12或15

（寫出一個即可）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當x=10時，y=100；x=20時，y=80，列出二元方程組解得k、b，進而得出答案；
（2）利用毛利潤=銷售收入-成本-固定費用，列出函數(shù)關系式求得最大值，
（3）根據(jù)每天買的件數(shù)，列出關系式求得a的范圍．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

10k+b=100 20k+b=80

解得：

k=-2 b=120

故所求一次函數(shù)的關系式為y=-2x+120；

（2）由題意得出：
W=（-2x+120）x-300
即所示函數(shù)的關系式為：W=-2x²+120x-300
∵W=-2x²+120x-300=-2（x-30）²+1500
且拋物線的開口向下，
∴當x＜30時，W隨x的增大而增大
而根據(jù)題意，得0≤x≤28
∴當x=28時，W_最大=-2（28-30）²+1500=1492．
∴當銷售單價定為108元時，日均的毛利潤最大，為1492元．

（3）a=10或12或15（寫出一個即可）
而0≤x≤28，即32≤60-x≤60
∴60-x=2×3³，或60-x=3²×5，或60-x=2²×3²
解得x=6，或x=15，或x=24，
所以a=10或12或15．
故答案為：10或12或15．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的應用以及湊整問題以及函數(shù)最值求法等知識，做題時一定要弄清題意，理清關系，綜合性較強，體現(xiàn)了數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系．