Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點．將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如圖2）．
（1）探究DB′與EC′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（2）當(dāng)DB′∥AE時，試求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點，則AD=AE=AB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，則AB′=AC′，根據(jù)三角形全等的判定方法可得到△B′AD≌△C′AE（SAS），則有DB′=EC′；
（2）由于DB′∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B′DA=∠DAE=90°，又因為AD=AB=AB′，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠AB′D=30°，利用互余即可得到旋轉(zhuǎn)角∠B′AD的度數(shù)．
解答：解：（1）DB′=EC′．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點，
∴AD=AE=AB，
∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′，
∴∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，
∴AB′=AC′，
在△B′AD和△C′AE中，
∵，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′；
（2）∵DB′∥AE，
∴∠B′DA=∠DAE=90°，
在Rt△B′DA中，
∵AD=AB=AB′，
∴∠AB′D=30°，
∴∠B′AD=90°-30°=60°，
即旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．