Question

已知點P（37，27），過P點的直線交x軸、y軸的正半軸于A、B，則△ABO面積的最小值是（ ）
A．2003
B．2002
C．2000
D．1998

Answer 1

【答案】分析：首先假設出直線解析式，再利用圖象與坐標軸交點坐標求法得出A，B兩點的坐標，利用面積求法得出關于k的等式，再利用一元二次方程根的判別式求出S的取值范圍，即可得出面積最小值．
解答：解：假設過點P（37，27）的直線方程為y-27=k（x-37），
∴直線與x軸、y軸的正半軸分別相交于點A（37-，0），B（0，27-37k），
由已知過P點的直線交x軸、y軸的正半軸于A、B，
∴k＜0，記△ABO的面積為S，
則S=（37-）（27-37k），
化簡得：Sk=（37k-27）（27-37k），
∴2Sk=-（37k-27）²，
∴1369k²-（2S-74×27）k+729=0，
上式可以視為關于k的一元二次方程，
∴△≥0，
∴△=（2S-74×27）²-4×1369×729≥0，
∴（2S-74×27）²≥4×1369×729，
∴2S-74×27≥2×37×27，
∴S≥2×37×27=1998，
∴△ABO面積的最小值是1998，
故選：D．
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及一元二次方程根的判別式的應用，根據已知得出關于k的一元二次方程，進而利用根的判別式得出S的取值范圍是解決問題的關鍵．