Question

以x為自變量的二次函數(shù)y＝－x²＋(2m＋2)x－(m²＋4m－3)中，m為不小于0的整數(shù)，函數(shù)圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與這個(gè)二次函數(shù)交于點(diǎn)C，且S_△ABC＝10，求一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵二次函數(shù)y＝－x2＋(2m＋2)x－(m2＋4m－3)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 　　∴方程x2－(2m＋2)x＋(m2＋4m－3)＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， 　　∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋4m－3)＞0，即m＜2． 　　又∵m是不小于0的整數(shù)， 　　∴m＝1，或m＝0． 　　當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)為y＝－x2＋2x＋3， 　　它的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1，0)，(3，0)，符合題意． 　　當(dāng)m＝1時(shí)，二次函數(shù)為y＝－x2＋4x－2， 　　它的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2－，0)，(2＋，0)， 　　這兩個(gè)點(diǎn)都在原點(diǎn)右邊，不合題意，∴m＝1舍去． 　　故所求二次函數(shù)的解析式為y＝－x2＋2x＋3． 　　(2)∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝3－(－1)＝4． 　　設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則S△ABC＝AB·|y0|＝2|y0|＝10，解得|y0|＝5． 　　∵拋物線y＝－x2＋2x－3開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(1，4)．∴y0＝－5． 　　又∵點(diǎn)C在拋物線上，∴－5＝－＋2x0＋3，即－2x0－8＝0． 　　解得x0＝－2，或x0＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，－5)或(4，－5)． 　　∴一次函數(shù)的圖象過(guò)A(－1，0)，C(－2，5)的解析式為y＝5x＋5， 　　圖象過(guò)A(－1，0)，C(4，－5)的解析式為y＝－x－1． 　　分析：(1)要求二次函數(shù)的解析式，就需確定m的值，由于該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的一元二次方程的Δ＞0，再注意到這兩個(gè)交點(diǎn)的位置及m是非負(fù)整數(shù)的條件，便可確定m．(2)由于一次函數(shù)y＝kx＋b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以只需求出另一交點(diǎn)C的坐標(biāo)，為此應(yīng)注意條件S△ABC＝10．