Question

如圖，已知直線y=x+8交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過A、0兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx（a＜O）的頂點(diǎn)C在直線AB上，以C為圓心，CA的長為半徑作⊙C．
（1）求拋物線的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及解析式；
（2）將⊙C沿x軸翻折后，得到⊙C′，求證：直線AC是⊙C′的切線；
（3）若M點(diǎn)是⊙C的優(yōu)弧

ABO

（不與0、A重合）上的一個(gè)動點(diǎn)，P是拋物線上的點(diǎn)，且∠POA=∠AM0，求滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線過A（-8，0），B（0，0）兩點(diǎn)可求出其對稱軸方程，得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)C點(diǎn)在直線y=x+8上，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）連接CC′、C′A，C、C′關(guān)于x軸對稱，根據(jù)對稱的性質(zhì)可知x軸是線段CC′的垂直平分線，故△ACC'是等腰三角形，因?yàn)辄c(diǎn)C（-4，4），所以∠CAO=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠CAC′=2∠CAO=90°，AC過⊙C′的半徑C′A的外端點(diǎn)A，根據(jù)切線的定義可知直線AC是⊙C，的切線；
（3）根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)可知∠ABO=45°，由圓周角可得∠AMO=∠ABO=45°，
設(shè)P（x，y）當(dāng)|

x

y

|=1，即y=x或y=-x時(shí)∠POA=45°，故應(yīng)分y=x，y=-x時(shí)兩種情況分別代入原函數(shù)解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，由直線y=x+8圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知，A（-8，0），B（0，8）
∵拋物線過A、O兩點(diǎn)
∴拋物線的對稱點(diǎn)為x=-4
又∵拋物線的對稱點(diǎn)在直線AB上，
∴當(dāng)x=-4時(shí)，y=4
∴拋物線的頂點(diǎn)C（-4，4）

4=16a-4b 0=64a-8b

，
解得

a=- 1 4 b=-2

∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²-2x；

（2）連接CC′、C′A
∵C、C′關(guān)于x軸對稱，設(shè)CC′交x軸于D，則CD⊥x軸，且CD=4，AD=4
△ACD為等腰直角三角形
∴△AC′D也為等腰直角三角形
∴∠CAC′=90°
∵AC過⊙C′的半徑C′A的外端點(diǎn)A
∴AC是⊙C′的切線；

（3）∵M(jìn)點(diǎn)是⊙O的優(yōu)弧

ABO

上的一點(diǎn)，
∴∠AMO=∠ABO=45°，
∴∠POA=∠AMO=45°
當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方的拋物線上時(shí)，
設(shè)P（x，y），則y=-x，
又∵y=-

1

4

x²-2x
∴

y=-x y=- 1 4 x2-2x

解得

x1=0 y1=0

x2=-4 y2=4

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，4）當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方的拋物線時(shí)，設(shè)P（x，y）
則y=x，又∵y=-

1

4

x2-2x
∴

y=x y=- 1 4 x2-2x

解得

x1=0 y1=0

x2=-12 y2=-12

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-12，-12）
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，4）或（-12，-12）

點(diǎn)評：本題綜合考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及圓的相關(guān)知識，比較復(fù)雜，但難度適中．