Question

已知：如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD上一點(diǎn)（不與C、D重合），連接AE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F．
（1）若DE=2，求cos∠ABF的值；
（2）設(shè)AE=x，BF=y，①求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍；②問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E從D運(yùn)動(dòng)到C，BF的值在增大還是減小？并說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)△AEB為等腰三角形時(shí)，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)相似三角形的判定得出△ABF∽△EDA，再利用成比例線段可知

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

，即可得出答案；
（2）①直接利用（1）中結(jié)果表示為：y=

15

x

；②其利用其單調(diào)性可知：y隨x的增大而減�。�
（3）當(dāng)△AEB為等腰三角形時(shí)，有3種情況：a、當(dāng)AB=BE時(shí)，BF=

3 10

2

b、當(dāng)AE=BE時(shí)，BF=

30 61

61

c、當(dāng)AB=AE=5時(shí)，BF=AD=3．

解答：解：（1）∵BF⊥AE，
∴∠FBA+∠FAB=90°，∠AFB=90°，
∵∠D=∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
∴△ABF∽△EDA
∵DE=2，AD=3，
∴AE=

13

，
∴cos∠ABF=

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

；

（2）根據(jù)（1）可知：
①

5

x

=

y

3

即y=

15

x

，3＜x＜

34

；
②減小，因?yàn)閥=

15

x

中，每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減�。�

（3）當(dāng)△AEB為等腰三角形時(shí)，有3種情況：
a、當(dāng)AB=BE時(shí)，則BE=5，則CE=

BE2-BC2

=4，∴DE═5-4=1，
∴AE=

AD2+DE2

=

10

，
∴AF=

10

2

，
∴BF=

3 10

2

；
b、當(dāng)AE=BE時(shí)，E為CD中點(diǎn)，則DE=2.5，AE=

61

2

，
∵AD•AB=BF•AE，
∴3×5=BF×

61

2

，
∴BF=

30 61

61

；
c、當(dāng)AB=AE=5時(shí)，△ABF≌△AED，則BF=AD=3．
所以BF的值為：

3 10

2

或

30 61

61

或3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)和矩形的綜合題．解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的關(guān)系式的幾何意義．在解決第三問(wèn)時(shí)要把三種情況都考慮進(jìn)去，不要漏掉一種情況，靈活運(yùn)用三角形相似或勾股定理解題．