![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5364533d493bd.png)
證明:(1)因?yàn)锳坐標(biāo)為(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
),
所以O(shè)A=2,∠AOB=60°.
因?yàn)镺M=2-4t,ON=6-4t,
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/563173.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/563174.png)
時(shí),解得t=0,
即在甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前,只有當(dāng)t=0時(shí),△OMN∽△OAB,所以MN與AB不可能平行;
(2)因?yàn)榧走_(dá)到O點(diǎn)時(shí)間為t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,乙達(dá)到O點(diǎn)的時(shí)間為t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46893.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,所以甲先到達(dá)O點(diǎn),所以t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
或t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
時(shí),O、M、N三點(diǎn)不能連接成三角形,
①當(dāng)t≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
時(shí),如果△OMN∽△OBA,則有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/563175.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/563176.png)
,解得t=2>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,所以,△OMN不可能相似△OBA;
②當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
<t≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
時(shí),∠MON>∠AOB,顯然△OMN不相似△OBA;
③當(dāng)t>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/563177.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/563178.png)
,解得t=2>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,所以當(dāng)t=2時(shí),△OMN∽△OBA;
(3)①當(dāng)t≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
時(shí),如圖1,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸,垂足為H,
在Rt△MOH中,因?yàn)椤螦OB=60°,
所以MH=OMsin60°=(2-4t)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
(1-2t),
OH=0Mcos60°=(2-4t)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
=1-2t,
所以NH=(6-4t)-(1-2t)=5-2t,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5364533d59717.png)
所以s=[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
(1-2t)]
2+(5-2t)
2=16t
2-32t+28
②當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
<t≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
時(shí),如圖2,作MH⊥x軸,垂足為H,
在Rt△MOH中,MH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
(4t-2)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
(2t-1),NH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(4t-2)+(6-4t)=5-2t,
所以s=[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
(1-2t)]
2+(5-2t)
2=16t
2-32t+28
③當(dāng)t>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
時(shí),同理可得s=[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
(1-2t)]
2+(5-2t)
2=16t
2-32t+28,
綜上所述,s=[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
(1-2t)]
2+(5-2t)
2=16t
2-32t+28.
因?yàn)閟=16t
2-32t+28=16(t-1)
2+12,
所以當(dāng)t=1時(shí),s有最小值為12,所以甲、乙兩人距離最小值為2
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km.
分析:(1)用反證法說(shuō)明.根據(jù)已知條件分別表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度,根據(jù)三角形相似得比例式說(shuō)明;
(2)根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間不同分段討論解答;
(3)在不同的時(shí)間段運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解析式,運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答問(wèn)題.
點(diǎn)評(píng):此題綜合考查了坐標(biāo)與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),難度較大.