Question

【題目】知識鋪墊

通過小學的學習我們知道：

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角如在正方形中，，

．

②等腰三角形中相等的兩條邊所對的兩個角也相等。如在中，如果，那么．

解決問題

如圖1，在中，為銳角，點為射線上一點，連接，以為一邊且在的右側作正方形，解答下列問題：

(1)如果，

①如圖2，當點在線段上時(與點不重合)，線段、之間的數(shù)量關系為__________，位置關系為__________．

②如圖3，當點在線段的延長線上時，①中的結論是否仍然成立，并說明理由．

拓展延伸

（2）如果，．點在線段上，當__________時，（點、不重合）．

Answer 1

【答案】（1）①相等，垂直；②成立，理由見解析；（2）45°．

【解析】

（1）①證明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD與CF相等且垂直；

②①的結論仍成立，同理證明△DAB≌△FAC，可得結論：垂直且相等；

（2）當∠ACB滿足45°時，CF⊥BC；如圖4，作輔助線，證明△QAD≌△CAF，即可得出結論．

解：（1）①CF與BD數(shù)量關系是相等，位置關系是垂直，理由是：

如圖2，∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∴∠DAC+∠CAF=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，

∴∠CAF=∠BAD，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，

∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

即∠BCF=90°，

∴BC⊥CF，

即BD⊥CF；

故答案為：相等，垂直；

②當點D在BC的延長線上時，①的結論仍成立，理由是：

如圖3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∠ACF=∠ABD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=∠ABC=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD；

（2）當∠ACB=45°時，CF⊥BD，理由是：

如圖4，過點A作AQ⊥AC，交BC于點Q，

∵∠BCA=45°，

∴∠AQC=45°，

∴∠AQC=∠BCA，

∴AC=AQ，

∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，

∴∠QAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，

∴∠QAD=∠CAF，

∴△QAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AQD=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD．

故答案為：45°．