Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CA以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：AB=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）要使△PCQ與△ACB相似，必須有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．當(dāng)∠PQC=∠A時(shí)，△PCQ∽△BCA，得出，代入求出即可；當(dāng)∠PQC=∠B時(shí)，△PCQ∽△ACB，得出，代入求出即可；
（3）分為兩種情況：畫出圖形，當(dāng)0＜t＜5時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作HE⊥CE交AC于H，求出∠HEP=∠CEQ，∠QCE=∠PCE=45°，PE=QE，證△QCE≌△PHE，推出QC=PH，根據(jù)勾股定理求出即可；當(dāng)t≥5時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作ME⊥CE交AC于M，同法可證△QCE≌△PME，根據(jù)勾股定理求出即可．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=5cm，由勾股定理得：AB==5（cm）

（2）如圖1，由題意可知：PC=2t，QB=t，QC=5-t．
∵∠PCQ=∠ACB，
∴要使△PCQ與△ACB相似，必須有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．
當(dāng)∠PQC=∠A時(shí)，△PCQ∽△BCA，
由可得，
解得：t=1，
當(dāng)∠PQC=∠B時(shí)，△PCQ∽△ACB，
由可得，
解得，
∴當(dāng)t=1或秒時(shí)，△PCQ與△ACB相似； 

（3）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，如圖2，
過(guò)點(diǎn)E作HE⊥CE交AC于H，則∠HEP+∠PEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PQ為△PCQ的外接圓的直徑，
∴∠QEP=90°，即∠QEC+∠PEC=90°，
∴∠HEP=∠CEQ，
又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°，
∴∠QCE=∠PCE=45°，
∴，
∴PE=QE，
∴∠QCE=∠PHE=45°，
∵在△QCE和△PHE中

∴△QCE≌△PHE（AAS）
∴QC=PH，
在Rt△HEC中，EC²+EH²=HC²，EC=EH，
即2EC²=（CP+CQ）²
∴；
當(dāng)t≥5時(shí)，如圖3，
過(guò)點(diǎn)E作ME⊥CE交AC于M，同法可證△QCE≌△PME，
∴，
綜上所述，當(dāng)0＜t＜5時(shí)，；當(dāng)t≥5時(shí)，．
故答案為：5；．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形，三角形的外接圓，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．