Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，過(guò)AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AD于點(diǎn)M，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）證明：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周長(zhǎng)；
（3）在沒(méi)有輔助線的前提下，圖中共有

5

對(duì)相似三角形．

Answer 1

分析：（1）連接BD，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直可得AC⊥BD，然后求出EM∥BD，再判斷出M是AD的中點(diǎn)，從而得證；
（2）判斷出四邊形FDBE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等求出BE，再求出AB，然后根據(jù)菱形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)兩平行直線所截得到的三角形是相似三角形找出相似三角形即可．

解答：（1）證明：連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EM⊥AC，
∴EM∥BD，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴M為AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM；

（2）解：∵EB∥FD，EM∥BD，
∴四邊形FDBE是平行四邊形，
∴FD=BD，
∵DF=2，
∴BE=2，
∴AB=2BE=2×2=4，
∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=4×4=16；

（3）設(shè)ME與AC的交點(diǎn)為G，相似三角形有：
△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5對(duì)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直的性質(zhì)，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，（3）要注意全等三角形是特殊的相似三角形．