Question

如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點．DF⊥AE于F
（1）求證：ABE∽△DFA；
（2）求AF、DF的長；
（3）求S_{四邊形CDFE}．

Answer 1

【答案】分析：（1）已經(jīng)有一對直角相等，只需再找一對銳角對應(yīng)相等即可，由AD∥BC得∠DAF=∠AEB，問題得證；
（2）先利用勾股定理求出AE，再根據(jù)△ABE∽△DFA得比例線段，然后求解；
（3）四邊形CDFE的面積=正方形面積-兩個直角三角形面積．
解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ABE∽△DFA；

（2）解：∵AB=4，E是BC的中點，
∴AE==2，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴，
∴DF=，AF=；

（3）解：S_{四邊形CDFE}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF=4²-×4×2-××
=16-4-3.2
=8.8．
點評：此題重點考查相似三角形的判定和性質(zhì)，涉及分割法求圖形的面積問題，有一定的綜合性，難度中等．