Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，點P是邊BC上的動點（點P不與點B，點C重合），過點P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點，再把△PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應(yīng)點是R點，設(shè)CP的長度為x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y．
（1）求∠CPQ的度數(shù)；
（2）當(dāng)x取何值時，點R落在矩形ABCD的AB邊上？
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）①當(dāng)x取何值時，重疊部分的面積最大，并求出這個最大值；②當(dāng)x取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)推出AB=CD，AD=BC，根據(jù)解直角三角形求出∠CDB=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)和數(shù)據(jù)線的內(nèi)角和定理求出即可；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知△RPQ≌△CPQ，推出∠RPQ=∠CPQ，RP=CP，在△RPB中得出2（3-x）=x，求出即可；
（3）當(dāng)點R在矩形ABCD的內(nèi)部或AB邊上時，求出S_△CPQ的值，推出當(dāng)0＜x≤2時，y=x²，當(dāng)R在矩形ABCD的外部，求出PF=2BP=2（3-x），求出RF\ER=x-6，進(jìn)一步求出S_△ERF即可；
（4）①當(dāng)0＜x≤2時，求出y的最大值，當(dāng)2＜x＜3時，求出在x=時，y最大值=，②矩形面積=9×3=27，根據(jù)計算求出當(dāng)0＜x＜2時，y的值不可能是矩形面積的；當(dāng)2＜x＜3時，根據(jù)題意得出方程-x²+18x-18=7，求出方程的解即可．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=9，AD=3，∠C=90°，
∴CD=9，BC=3，
∴tan∠CDB==，∴∠CDB=30°，
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CDB=30°，
∴∠CPQ=90°-∠CQP=60°，
答：∠CPQ的度數(shù)是60°．

（2）解：如圖1，由軸對稱的性質(zhì)可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP，
由（1）知：∠CQP=30°，∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP，
∵CP=x，
∴PR=x，PB=3-x，
在△RPB中，根據(jù)題意得：2（3-x）=x，
解這個方程得：x=2，
答：當(dāng)x取2時，點R落在矩形ABCD的AB邊上．

（3）解：當(dāng)點R在矩形ABCD的內(nèi)部或AB邊上時，
如圖1：FE的范圍是0＜x≤2，
S_△CPQ=×CP×CQ=x×x=x²，
∵△RPQ≌△CPQ，
∴當(dāng)0＜x≤2時，y=x²，
當(dāng)R在矩形ABCD的外部時（如圖2），2＜x＜3，
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（3-x），
∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-6，
在Rt△ERF中，
∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=x-6，
∴S_△ERF=×ER×FR=x²-18x+18，
∵y=S_△RPQ-S_△ERF，
∴當(dāng)2＜x＜3時，y=-x²+18x-18，
答：y與x之間的函數(shù)解析式是：y=．

（4）解：①當(dāng)0＜x≤2時，函數(shù)y=x²隨自變量的增大而增大，
∴y的最大值是6，
當(dāng)2＜x＜3時，y=-x²+18x-18=7，
∵-＜0，
∴在x==3時，y的最大值==，
∴當(dāng)2＜x＜3時，y沒有最大值．
②矩形面積=9×3=27，
當(dāng)0＜x≤2時，y的最大值是6，
而矩形面積的的值=×27=7，
而7＞6，
∴當(dāng)0＜x＜2時，y的值不可能是矩形面積的；
當(dāng)2＜x＜3時，根據(jù)題意，得：-x²+18x-18=7，
解這個方程，得x=3±，
∵3+＞3，
∴x=3+不合題意，舍去，
∴x=3-，
答：當(dāng)x=3-時，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積等于矩形面積的．
點評：本題主要考查對矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，解一元二次方程，翻折變換，二次函數(shù)的最值等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．