Question

（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，AD⊥BC于D，將△ABC沿AD剪開，并分別以AB、AC為軸翻轉(zhuǎn)，點E、F分別是點D的對應點，得到△ABE和△ACF （與△ABC在同一平面內(nèi)），延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）如果（1）中AB≠AC，其他不變，如圖2，那么四邊形AEGF是否是正方形？請說明理由；
（3）在（2）中，若BD=2，DC=3，求AD的長。

                        圖1                                             圖2

Answer 1

解：（1）∵，AB=AC，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠DAB=∠DAC=∠BAC=22.5°，
∵點E與點D關于AB對稱，
∴△AEB≌△ADB，
∴AE=AD，∠AEB=∠ADB=90°，∠EAB=∠DAB，
∴∠EAD=2∠DAB=45°，
同理：AF=AD，∠AFC=90°，∠DAF=45°，
∴AE=AF，∠EAF=∠EAD+∠DAF=90°，
∴四邊形AEGF是正方形；
（2）四邊形AEGF是正方形，
由（1）可知：∠EAB+∠FAC=∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°，
∵∠AEB=∠AFC=90°，AE=AF，
∴四邊形AEGF是正方形；
（3）設AD=x，則AE=EG=GF=x，
∴BG=x-2，CG=x-3，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²，
解得x₁=6，x₂=-1（舍）
∴AD=x=6。