Question

某大學(xué)畢業(yè)生響應(yīng)國(guó)家“自主創(chuàng)業(yè)”的號(hào)召，投資開辦了一個(gè)玩具商店．該店對(duì)今年新上市玩具熊進(jìn)行了30天的試銷售，這種玩具熊進(jìn)價(jià)為25元/個(gè)．在這段試營(yíng)銷期間，玩具熊的日銷售量P（個(gè)）與銷售時(shí)間t（天）之間有如下關(guān)系：P=-2t+100（1≤t≤30，且t為整數(shù)）；銷售價(jià)格Q（元/個(gè)）與銷售時(shí)間t（天）之間有如下關(guān)系：Q=

1

2

t+40（1≤t≤30，且t為整數(shù)），
（1）寫出該商店試銷售期間的日銷售利潤(rùn)S （元）和與銷售時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出試銷售期間的最大日銷售利潤(rùn)；
（2）試銷售結(jié)束后，該大學(xué)畢業(yè)生發(fā)現(xiàn)若以試銷售的第30天的銷售價(jià)作為正式銷售價(jià)，價(jià)格顯得偏高而銷售量顯得偏低，于是決定將試銷售的第30天的銷售價(jià)適當(dāng)降低進(jìn)行正式銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，每天可多賣出4個(gè)．試問(wèn)：需降價(jià)多少元可使正式銷售期間每天的銷售利潤(rùn)與試銷售期間的最大日銷售利潤(rùn)相同？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)日銷售利潤(rùn)=日銷售量×單個(gè)利潤(rùn)，由已知得出P=-2t+100，Q=

1

2

t+40（1≤t≤30，且t為整數(shù)），S=PQ，求出即可；
（2）首先求出第30天的銷售價(jià)與銷量，進(jìn)而得出（55-x-25）（40+4x）=1600求出即可．

解答：解：（1）由題意得：
S=(-2t+100)(

1

2

t+40-25)…（1分）
=-t²+20t+1500（1≤t≤30，且t為整數(shù)）…（2分）
當(dāng)t=-

b

2a

=10（天）時(shí)，S取最大值，
且S最大=-102+20×10+1500=1600（元）…（4分）；

（2）令t=30，得 P₃₀=-2×30+100=40（個(gè)），
Q30=

1

2

×30+40=55（元/個(gè)）…（5分）
設(shè)需降價(jià)x元，由題意，得：
（55-x-25）（40+4x）=1600…（7分）
解得，x₁=x₂=10…（8分）
答：需降價(jià)10元可使正式銷售期間每天的銷售利潤(rùn)與試銷售期間的最大日銷售利潤(rùn)相同．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知日銷售利潤(rùn)=日銷售量×單個(gè)利潤(rùn)找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．