Question

8．如圖，△ABC的中線AD、BE、CF相交于點G，H、I分別是BG、CG的中點．
（1）求證：四邊形EFHI是平行四邊形；
（2）①當(dāng)AD與BC滿足條件AD⊥BC時，四邊形EFHI是矩形；
②當(dāng)AD與BC滿足條件BC=$\frac{2}{3}$AD時，四邊形EFHI是菱形．

Answer 1

分析 （1）證出EF、HI分別是△ABC、△BCG的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可得EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，HI∥BC且PQ=$\frac{1}{2}$BC，進(jìn)而可得EF∥HI且EF=HI．根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；
（2）①由三角形中位線定理得出FH∥AD，再證出EF⊥FH即可；
②與三角形重心定理得出AG=$\frac{2}{3}$AD，證出AG=BC，由三角形中位線定理和添加條件得出FH=EF，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵BE，CF是△ABC的中線，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC．
∵H、I分別是BG、CG的中點．，
∴HI是△BCG的中位線，
∴HI∥BC且HI=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF∥HI且EF=HI．
∴四邊形EFHI是平行四邊形．
（2）解：①當(dāng)AD與BC滿足條件 AD⊥BC時，四邊形EFHI是矩形；理由如下：
同（1）得：FH是△ABG的中位線，
∴FH∥AG，F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$AG，
∴FH∥AD，
∵EF∥BC，AD⊥BC，
∴EF⊥FH，
∴∠EFH=90°，
∵四邊形EFHI是平行四邊形，
∴四邊形EFHI是矩形；
故答案為：AD⊥BC；
②當(dāng)AD與BC滿足條件BC=$\frac{2}{3}$AD時，四邊形EFHI是菱形；理由如下：
∵△ABC的中線AD、BE、CF相交于點G，
∴AG=$\frac{2}{3}$AD，
∵BC=$\frac{2}{3}$AD，
∴AG=BC，
∵FH=$\frac{1}{2}$AG，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴FH=EF，
又∵四邊形EFHI是平行四邊形，
∴四邊形EFHI是菱形；
故答案為：BC=$\frac{2}{3}$AD．

點評 此題主要考查了三角形中位線定理，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．