Question

如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求證：AC是⊙O的切線：

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑r．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：連接OA、OD，

∵D為弧BE的中點(diǎn)，∴OD⊥BC。

∴∠DOF=90°。∴∠D+∠OFD=90°。

∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D。

∵∠CFA=∠OFD，∴∠OAD+∠CAF=90°。

∴OA⊥AC。

∵OA為半徑，∴AC是⊙O切線。

（2）當(dāng)F在半徑OE上時(shí)，∵⊙O半徑是r，∴OD=r，OF=8﹣r。

在Rt△DOF中，r²+（8﹣r）²=（）²，解得r=或r=（舍去）；

當(dāng)F在半徑OB上時(shí)，∵⊙O半徑是r，∴OD=r，OF=r﹣8。

在Rt△DOF中，r²+（r﹣8）²=（）²，解得r=或r=（舍去）。

∴⊙O的半徑r為。

【考點(diǎn)】垂徑定理，直角三角形兩銳角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，勾股定理。

【解析】

試題分析：（1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求∠OAD+∠CAF=90°，根據(jù)切線的判定推出即可。

（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根據(jù)勾股定理得出方程r²+（8﹣r）²=（）²，求出即可。