Question

【題目】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)BD，AC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．（不要求證明）

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，E、F分別是邊AB、BC中點(diǎn)，

所以EF∥AC，且EF= AC，

同理有GH∥AC，且GH= AC，

∴EF∥GH且EF=GH，

故四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）解：EH∥BD且EH= BD，

若AC=BD，則有EH=EF，

又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵AC⊥BD，

∴∠EHG=90°，

即：當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．

【解析】（1）在△ABC中，E、F分別是邊AB、BC中點(diǎn)，得到EF∥AC，且EF= AC，GH∥AC，且GH= AC，得到四邊形EFGH是平行四邊形；（2）四邊形EFGH是平行四邊形，再由AC=BD，得出EH=EF，從而證得四邊形EFGH是菱形．對(duì)角線(xiàn)相等，推知四邊形EFGH是正方形；