Question

如圖所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，拋物線過(guò)點(diǎn)B、C和D（3，0）．

（1）求直線BD和拋物線的解析式．

（2）若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△PBD=6？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）直線BD的解析式為：y=-x+3．拋物線的解析式為：y=x2-4x+3．（2）點(diǎn)N坐標(biāo)為：（0，0），（-3，0）或（0，-3）．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）或（-1，8）．

【解析】

試題分析：（1）由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式；

（2）首先確定△MCD為等腰直角三角形，因?yàn)椤鰾ND與△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答圖1所示，符合條件的點(diǎn)N有3個(gè)；

（3）如答圖2、答圖3所示，解題關(guān)鍵是求出△PBD面積的表達(dá)式，然后根據(jù)S△PBD=6的已知條件，列出一元二次方程求解．

試題解析：（1）∵直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴A（-1，0），B（0，3）；

∵把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，∴C（1，0）．

設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，

∵點(diǎn)B（0，3），D（3，0）在直線BD上，

∴，

解得k=-1，b=3，

∴直線BD的解析式為：y=-x+3．

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），

∵點(diǎn)B（0，3）在拋物線上，

∴3=a×（-1）×（-3），

解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3．

（2）拋物線的解析式為：y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．

直線BD：y=-x+3與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，令x=2，得y=1，

∴M（2，1）．

設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，則CF=FD=MF=1，

∴△MCD為等腰直角三角形．

∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，

∴△BND為等腰直角三角形．

如答圖1所示：

（Ⅰ）若BD為斜邊，則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，

∴N1（0，0）；

（Ⅱ）若BD為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上，

∵OB=OD=ON2=3，

∴N2（-3，0）；

（Ⅲ）若BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上，

∵OB=OD=ON3=3，

∴N3（0，-3）．

∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：（0，0），（-3，0）或（0，-3）．

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使S△PBD=6，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）．

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí)，如答圖2所示：

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=n，DE=m-3．

S△PBD=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE=（3+n）m-×3×3-（m-3）n=6，

化簡(jiǎn)得：m+n=7 ①，

∵P（m，n）在拋物線上，

∴n=m2-4m+3，

代入①式整理得：m2-3m-4=0，

解得：m1=4，m2=-1，

∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（-1，8）；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí)，如答圖3所示：

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，則PE=m，OE=-n，BE=3-n．

S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD-S△PBE=（3+m）（-n）+×3×3-（3-n）m=6，

化簡(jiǎn)得：m+n=-1 ②，

∵P（m，n）在拋物線上，

∴n=m2-4m+3，

代入②式整理得：m2-3m+4=0，△=-7＜0，此方程無(wú)解．

故此時(shí)點(diǎn)P不存在．

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使S△PBD=6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）或（-1，8）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．