Question

如圖，以菱形ABCD各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形A₁B₁C₁D₁，再以A₁B₁C₁D₁各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形A₂B₂C₂D₂，…，如此下去，得到四邊形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁D₂₀₁₁，若ABCD對(duì)角線長分別為a和b，請用含a、b的代數(shù)式表示四邊形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁D₂₀₁₁的周長

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)圖形，四邊形A₁B₁C₁D₁的長為

a

2

，寬為

b

2

，四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形，邊長為

a2+b2

22

；四邊形A₃B₃C₃D₃的長為

a

22

，寬為

b

22

，四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形，邊長為

a2+b2

23

，依此類推，A_2n-1B_2n-1C_2n-1D_2n-1長為

a

2n

，寬為

b

2n

，四邊形A_2nB_2nC_2nD_2n是菱形，邊長為

a2+b2

2n+1

，四邊形A₂₀₁₀B₂₀₁₀C₂₀₁₀D₂₀₁₀是菱形，邊長乘以4就是周長．

解答：解：結(jié)合圖形，腳碼為奇數(shù)時(shí)，四邊形A_2n-1B_2n-1C_2n-1D_2n-1是矩形，長為

a

2n

，寬為

b

2n

；
腳碼為偶數(shù)時(shí)，四邊形A_2nB_2nC_2nD_2n是菱形，邊長為

a2+b2

2n+1

，
∴四邊形A₂₀₁₀B₂₀₁₀C₂₀₁₀D₂₀₁₀是菱形，邊長為

a2+b2

21006

，
周長為

4 a2+b2

21006

，即

a2+b2

21004

．
∴四邊形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁D₂₀₁₁是矩形，長為

a

21005

，寬為

b

21005

，
∴四邊形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁D₂₀₁₁的周長為：2（

a

21005

+

b

21005

）=

a+b

21004

．
故答案為：

a+b

21004

．

點(diǎn)評(píng)：本題是規(guī)律探尋題，探索出當(dāng)腳碼為奇數(shù)時(shí)，四邊形為矩形，當(dāng)腳碼為偶數(shù)時(shí)，四邊形為菱形，并表示出矩形的長與寬的表達(dá)式以及菱形的邊長的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．